Optimal Designs in Linear Regression Models

Abstract

Väitöskirjassa on tutkittu tilastollisen koesuunnittelun teoriaa. Koesuunnittelua tarvitaan, kun tilastollisiin mittauksiin on käytettävissä vain rajallinen määrä resursseja mutta samalla kuitenkin halutaan luotettavaa tietoa.

Tutkimuksen kolmessa ensimmäisessä artikkelissa on kehitetty koesuunnitelmia satunnaiskertoimisille regressiomalleille. Malleja voidaan soveltaa, kun tehdään usealle yksilölle peräkkäisiä mittauksia, esimerkiksi eri aikapisteissä. Väitöskirjan artikkeleissa sovelluskohteena ovat olleet puiden rungot, joista on mitattu läpimittoja eri korkeuksilla. Kutakin yksilöä, tässä tapauksessa puunrunkoa, vastaavat omat regressiomallin kertoimet. Koesuunnitelma käsittää tiedon siitä, miten mittausten määrä jakaantuu eri yksilöiden välillä ja yksilöiden sisäisesti. Tavoitteena on joko arvioida mallin keskimääräiset parametrit mahdollisimman tarkasti tai ennustaa uusia havaintoarvoja. Ensimmäisessä artikkelissa on ennustealue on sama kuin havaintoväli ja toisessa se on havaintovälin ulkopuolella. Kolmannessa artikkelissa on esillä käänteisennusteongelma, kun halutaan arvioida pistettä, jossa vastemuuttuja, esim. puun läpimitta, saavuttaa tietyn tason.

Koesuunnitelmia vertaillaan keskenään käyttämällä erilaisia optimaalisuuskriteereitä. Kolmannessa ja neljännessä väitöskirjan artikkelissa tarkastellaan DS-kriteeriä, jota on tutkittu vain vähän tähän mennessä. DS-kriteeri on siinä mielessä yleinen, että koesuunnitelman ollessa DS-optimaalinen se on optimaalinen myös monen perinteisen optimaalisuuskriteerin suhteen. Yleensä DS-optimaalista suunnitelmaa ei ole olemassa, mutta suunnitelmia voidaan parantaa DS-kriteerin suhteen. Tutkimuksessa on rajoituttu yksinkertaisiin polynomimalleihin, joten lisätutkimus on tarpeen DS-kriteerin käytöstä laajemmissa yhteyksissä.

The thesis consists of five papers and a summary. It has two main themes in the area of experimental design. Firstly, optimal designs for estimation, prediction and inverse prediction are developed in random coefficient linear regression models. Mainly first-degree models are dealt with. The results can be applied in repeated measurements situations.

Secondly, a relatively new design criterion, the distance optimality criterion, is introduced. Its properties are studied and some results in estimation and prediction problems deduced. The criterion can be used to find optimal designs or to improve designs in polynomial regression models. It has interesting relations to traditional D- and E-optimality criteria.