On Meet and Join Matrices Associated with Incidence Functions

TamPub

Näytä suppeat kuvailutiedot

dc.contributor.author Korkee, Ismo -
dc.date.accessioned 2012-12-03T12:12:03Z
dc.date.available 2012-12-03T12:12:03Z
dc.date.issued 2006 -
dc.identifier.isbn 951-44-6617-9 -
dc.identifier.uri http://tampub.uta.fi/handle/10024/67595
dc.description.abstract Lukuteoriassa SYT-matriisilla tarkoitetaan n x n matriisia, jonka jokainen alkio on vastaavan rivi- ja sarakenumeron suurin yhteinen tekijä (syt). SYT-matriisien teoria alkoi H.J.S. Smithin vuonna 1876 lehdessä Proc. London Math. Soc. julkaisemasta artikkelista, jossa esitettiin mm. SYT-matriisin determinantille kaava g(1)g(2)g(3)...g(n). Kaavassa g(i) kertoo sen, kuinka moni i:tä pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista on suhteellinen alkuluku i:n kanssa. SYT-matriisin käsitteeseen voidaan liittää myös jokin positiivisten kokonaislukujen joukko S = {x1, x2, , xn} ja funktio f. Tällöin joukkoa S ja funktiota f vastaavan SYT-matriisin ij. alkio on f(syt(xi, xj)). Vastaavasti määritellään PYJ-matriisi. Kun SYT- ja PYJ-matriisien määritelmissä tavanomainen jaollisuus korvataan ns. unitaarisella jaollisuudella, puhutaan SYUT- ja PYUJ-matriiseista. Positiivisten kokonaislukujen joukko varustettuna syt:llä ja pyj:llä muodostaa ns. hilan, joten SYT- ja PYJ-matriisien sijaan voidaan tarkastella niiden hilateoreettisia yleistyksiä. Yleistys suoritetaan korvaamalla positiivisten kokonaislukujen joukko osittain järjestetyllä joukolla, syt suurimmalla alarajalla (meet) ja pyj pienimmällä ylärajalla (join). Lisäksi S ja f korvataan yleisemmällä joukolla ja funktiolla. Näin saatuja matriiseja kutsutaan meet- ja join-matriiseiksi. Tämä tutkimus koostuu yhteenveto-osasta ja kuudesta artikkelista. Tutkimuksen päätarkoitus on osoittaa hilateorian hyödyllisyys matematiikan toisen osa-alueen, tässä tapauksessa lukuteorian, tutkimuksessa. Tutkimuksessa keskitytään pääasiassa meet- ja join-matriisien determinantteihin ja käänteismatriiseihin, kun S ja f kuuluvat tiettyihin joukko- ja funktioluokkiin. Ensimmäisessä artikkelissa johdetaan kaavat mm. meet-matriisin determinantin ala- ja ylärajoille sekä kaava käänteismatriisille. Työn merkittävin osa lienee artikkeleista toinen, jossa edellä mainitut kaavat johdetaan myös join-matriiseille käyttäen hyväksi hilan duaalisuutta. Olettamalla funktio f semi-multiplikatiiviseksi saadaan kaavoja vielä monipuolisemmissa joukkoluokissa S. Kolmannessa artikkelissa esitetään menetelmä, jolla voidaan vapautua joukkoa S koskevista rajoitteista. Neljännessä artikkelissa osoitetaan, että meet-matriisit ovat vielä yleisemmän matriisiluokan aliluokka, ja johdetaan uusia determinantti- ja käänteismatriisikaavoja myös tällaisille matriiseille. Viidennessä artikkelissa osoitetaan, että positiivisten kokonaislukujen joukko sopivasti täydennettynä ja varustettuna syut:llä ja pyuj:llä muodostaa myös hilan. Lisäksi tässä artikkelissa johdetaan käänteismatriisikaavoissa esiintyvälle Möbiuksen funktiolle uusi vaihtoehtoinen esitysmuoto. Kuudennessa artikkelissa osoitetaan, että joukon S hilateoreettisella rakenteella on suuri merkitys siihen, milloin join-matriisi on jaollinen vastaavan meet-matriisin kanssa kokonaislukumatriisien joukossa. Tällaisia joukkoja voidaan luoda induktiivisesti kahden annetun algoritmin avulla. Koska SYT- ja PYJ-matriisit sekä SYUT- ja PYUJ-matriisit kuuluvat meet- ja join-matriiseihin, niin tässä työssä hilateoreettisella tasolla saavutetut tulokset ovat voimassa myös perinteisessä lukuteoreettisessa tarkasteluympäristössään. Tutkimuksen tulokset kattavat suurimman osan SYT- ja PYJ-matriiseja koskevasta tietämyksestä, ja myös runsaasti uuttakin tietoa saavutetaan. Tutkimus antaa moneen lukuteoreettisesti mutkikkaaseen tilanteeseen järkevän hilateoreettisen selityksen. fi
dc.language.iso en -
dc.publisher Tampere University Press -
dc.relation.isformatof 951-44-6616-0 -
dc.subject Meet-matrix -
dc.subject join-matrix -
dc.subject GCD-matrix -
dc.subject LCM-matrix -
dc.subject Smith's determinant -
dc.title On Meet and Join Matrices Associated with Incidence Functions -
dc.type.ontasot fi=Väitöskirja | en=Doctoral dissertation| -
dc.identifier.urn urn:isbn:951-44-6617-9 -
dc.relation.numberinseries 1149 -
dc.seriesname Acta Universitatis Tamperensis -
dc.oldstats 1544 -
dc.seriesname.electronic Acta Electronica Universitatis Tamperensis -
dc.relation.numberinserieselectronic 524 -
dc.publisher.electronic Tampere University Press -
dc.subject.study Matematiikka - Mathematics -
dc.date.dissertation 2006-05-06 -
dc.onsale 1 -
dc.faculty fi=Informaatiotieteiden tiedekunta | en=Faculty of Information Sciences| -
dc.department fi=Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos | en=Department of Mathematics, Statistics and Philosophy| -

Viite kuuluu kokoelmiin:

Näytä suppeat kuvailutiedot